2018年一級結構工程師《理論力學》重點：分析力學

分析力學

明白分析力學與牛頓力學，研究對象都是宏觀物體，任務都是解決宏觀物體的運動規(guī)律，但所采用的方法很不相同，在牛頓力學中，最重要的量是力和加速度，矢量性很強，除了動能定理和機械能守恒定律外，幾乎都是矢量式，因此務必要建立適當?shù)淖鴺讼?，若是動力學則要進行準確的受力分析，把矢量式變?yōu)榉至渴?若是運動學，則矢量用分量來表達(如前面的轉動參照系運動學)，才能求解。而分析力學中最重要的是能量，即動能和勢能，其次確定系統(tǒng)的自由度，進而確定廣義坐標，用廣義坐標來表示能量等函數(shù)，是十分重要的一步，因而標量性很明顯，當然有時也免不了要受力分析，畢竟是力學。

一、約束與廣義坐標

分析力學的研究對象：主要是相互作用著的大量質點組成的質點系，我們常見的就是特殊的質點系剛體，我們稱為力學體系。單個質點當然也可用分析力學處理，不過，有時反使問題復雜化，因它的優(yōu)勢在于處理復雜體系，一方面用廣義坐標(獨立坐標)來描述力學體系使方程數(shù)減少，一方面消除未知的約束反力(目標是求解力學體系的運動規(guī)律，而不是約束反力).

1, 約束

限制力學體系中質點自由運動的條件，通常為坐標，速度，時間的函數(shù)，該函數(shù)我們稱為約束方程，簡稱約束

按照下面不同的劃分標準，分為：

1) 限制質點空間位置的約束是否顯含時間

1) 限制質點空間位置的約束是否可解

始終不能脫離約束曲面(曲線)的約束，是不可解約束，用等式表示

3)是否限制質點的速度

不僅限制質點的坐標，而且限制質點的速度，是微分約束;可積分為幾何約束的微分約束也為完整約束，所以完成約束包括幾何約束(不可解約束)和可積分為幾何約束的微分約束;而非完成約束則包括可解約束和不能積分為幾何約束的微分約束，受完整約束的力學體系是完成系，反之是非完整系，我們主要研究完整系。

我們注意到，上面分類中有相互包含的情況，如同一個約束，即可是穩(wěn)定約束，也可是不可解約束，還可是幾何約束;可解約束只能是非完整約束。

1， 廣義坐標

若一個有3n個質點組成的力學體系受到k個幾何約束，則描述其空間位形的獨立坐標數(shù)只需3n-k個，此時力學體系的自由度和獨立坐標數(shù)相等，若有微分約束，則自由度數(shù)可小于獨立坐標數(shù)，我們研究的是幾何約束

這3n-k=s個獨立坐標，稱其為是廣義坐標，每一質點的三個直角坐標都可用這s個獨立坐標來表示，于是整個力體系的空間位形當然就只需s個獨立坐標來描述

明確位矢是廣義坐標和時間的顯函數(shù)，若不是時間的顯函數(shù)是穩(wěn)定約束的情況。廣義坐標，既然稱廣義，它可以是長度，還可是角度等，只需滿足和廣義力的乘積具有功的量綱或者說具有功的形式

二， 虛功原理

1. 幾個基本概念

1) 實位移與虛位移的區(qū)別和聯(lián)系

實位移是實實在在由真實運動而發(fā)生的位移，必然經(jīng)歷時間，且受運動規(guī)律(初始條件和受力情況，所以已包含了約束條件)的限制，只有一個，用表示;而虛位移則是在某一時刻，約束所許可的條件下，假象的可能發(fā)生的位移，可能由無數(shù)多個，且不經(jīng)歷時間，不受真實運動的影響，由約束條件和該時刻所在位置決定，用表示;當在穩(wěn)定約束的情況下，實位移是諸多虛位移中的一個

2)虛功

所有主動力和約束反力在任意的虛位移所做的元功之和，與虛位移相應，物功能轉化，也不需經(jīng)歷時間

3)理想約束 若某一力學體系的所有約束反力在任意虛位移所做元功之和為零

2，虛功原理

研究對象是受理性的穩(wěn)定的約束且處于靜止狀態(tài)的力學體系，研究任務，是解決該類體系的靜力學平衡問題

三 (重點考查)拉格朗日方程

是在達郎貝爾原理(把動力學問題轉為靜力學問題的原理)和虛功原理的基礎上推導的

1基本形式的拉格朗日方程

2 保守力系下(主動力是保守力)的拉格朗日方程

3 拉格朗日方程的應用

應用拉格朗日方程解題的一般步驟：

(1)明確是否是受理想完整約束的力學體系

(2)判斷力學體系的自由度(確定廣義坐標數(shù))

(3)選廣義坐標(根據(jù)題意，需要靈活選取)，數(shù)目與自由度相等

(4)計算系統(tǒng)的動能，且用廣義速度，廣義坐標來表示

(5)對非保守系計算廣義力，對保守系計算勢能(用廣義坐標表示)

(6)代入拉格朗日方程求得質點系的運動微分方程，進而求得運動

4 循環(huán)積分和能量積分

都是針對保守力系，

四 哈密頓正則方程

五、泊松括號與哈密頓原理

1，泊松括號

3 哈密頓原理

僅研究保守力系作用下的哈密頓原理

與拉格朗日方程一樣，是在由s個廣義坐標所描述的s維位形空間中研究力學體系的運動規(guī)律，s維位形空間與時間t構成了s+1維空間，它是采用變分的思想從多種可能軌道中挑出真是軌道。