注冊會計師考試知識：內(nèi)插法的原理及詳細應(yīng)用舉例

　　內(nèi)插法的原理及詳細應(yīng)用舉例

　　內(nèi)插法又稱插值法。根據(jù)未知函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)若干點的函數(shù)值，作出在該若干點的函數(shù)值與f(x)值相等的特定函數(shù)來近似原函數(shù)f(x)，進而可用此特定函數(shù)算出該區(qū)間內(nèi)其他各點的原函數(shù)f(x)的近似值，這種方法，稱為內(nèi)插法。

　　一、概念

　　內(nèi)插法，一般是指數(shù)學上的直線內(nèi)插，利用等比關(guān)系，是用一組已知的未知函數(shù)的自變量的值和與它對應(yīng)的函數(shù)值來求一種求未知函數(shù)其它值的近似計算方法，是一種未知函數(shù)，數(shù)值內(nèi)插法逼近求法，天文學上和農(nóng)歷計算中經(jīng)常用的是白塞爾內(nèi)插法，可參考《中國天文年歷》的附錄。另外還有其他非線性內(nèi)插法：如二次拋物線法和三次拋物線法。因為是用別的線代替原線，所以存在誤差?？梢愿鶕?jù)計算結(jié)果比較誤差值，如果誤差在可以接受的范圍內(nèi)，才可以用相應(yīng)的曲線代替。一般查表法用直線內(nèi)插法計算。

　　二、原理

　　數(shù)學內(nèi)插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P(i,b)在上述兩點確定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線內(nèi)插法”。

　　數(shù)學內(nèi)插法說明點P反映的變量遵循直線AB反映的線性關(guān)系。

　　上述公式易得。A、B、P三點共線，則

　　(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。

　　三、具體應(yīng)用：在內(nèi)含報酬率中的計算

　　內(nèi)插法在內(nèi)含報酬率的計算中應(yīng)用較多。內(nèi)含報酬率是使投資項目的凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率，通過內(nèi)含報酬率的計算，可以判斷該項目是否可行，如果計算出來的內(nèi)含報酬率高于必要報酬率，內(nèi)插法則方案可行;如果計算出來的內(nèi)含報酬率小于必要報酬率，則方案不可行。一般情況下，內(nèi)含報酬率的計算都會涉及到內(nèi)插法的計算。不過一般要分成這樣兩種情況：

　　1.如果某一個投資項目是在投資起點一次投入，經(jīng)營期內(nèi)各年現(xiàn)金流量相等，而且是后付年金的情況下，可以先按照年金法確定出內(nèi)含報酬率的估計值范圍，再利用內(nèi)插法確定內(nèi)含報酬率;

　　2.如果上述條件不能同時滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過多次試誤求出內(nèi)含報酬率的估值范圍，再采用內(nèi)插法確定內(nèi)含報酬率。

　　下面舉個簡單的例子進行說明：

　　某公司現(xiàn)有一投資方案，資料如下：

　　初始投資一次投入4000萬元，經(jīng)營期三年，最低報酬率為10%，經(jīng)營期現(xiàn)金凈流量有如下兩種情況：(1)每年的現(xiàn)金凈流量一致，都是1600萬元;(2)每年的現(xiàn)金凈流量不一致，第一年為1200萬元，第二年為1600萬元，第三年為2400萬元。

　　問在這兩種情況下，各自的內(nèi)含報酬率并判斷兩方案是否可行。

　　詳細解析：

　　根據(jù)(1)的情況，知道投資額在初始點一次投入，且每年的現(xiàn)金流量相等，都等于1600萬元，所以應(yīng)該直接按照年金法計算，則

　　NPV=1600×(P/A，I，3)-4000

　　由于內(nèi)含報酬率是使投資項目凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率，

　　所以　令NPV=0

　　則：1600×(P/A，I，3)-4000=0

　　(P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

　　查年金現(xiàn)值系數(shù)表，確定2.5介于2.5313(對應(yīng)的折現(xiàn)率i為9%)和2.4869(對應(yīng)的折現(xiàn)率I為10%)，可見內(nèi)含報酬率介于9%和10%之間，根據(jù)上述插值法的原理，可設(shè)內(nèi)含報酬率為I,

　　則根據(jù)原公式：

　　(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1).

　　i2 =10%，i1=9%，則這里β表示系數(shù)，β2=2.4689，β1=2.5313，

　　而根據(jù)上面的計算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：

　　(10%-9%)/(I-9%)=(2.4689-2.5313)/(2.5-2.5313)，解出I等于9.5%，因為企業(yè)的最低報酬率為10%，內(nèi)含報酬率小于10%，所以該方案不可行。

　　根據(jù)(2)的情況，不能直接用年金法計算，而是要通過試誤來計算。 這種方法首先應(yīng)設(shè)定一個折現(xiàn)率i1，再按該折現(xiàn)率將項目計算期的現(xiàn)金流量折為現(xiàn)值，計算出凈現(xiàn)值NPV1;如果NPV1>0，說明設(shè)定的折現(xiàn)率i1小于該項目的內(nèi)含報酬率，此時應(yīng)提高折現(xiàn)率為i2，并按i2重新計算該投資項目凈現(xiàn)值NPV2;如果NPV1<0，說明設(shè)定的折現(xiàn)率i1大于該項目的內(nèi)含報酬率，此時應(yīng)降低折現(xiàn)率為i2，并按i2重新將項目計算期的現(xiàn)金流量折算為現(xiàn)值，計算凈現(xiàn)值NPV2。

　　經(jīng)過上述過程，如果此時NPV2與NPV1的計算結(jié)果相反，即出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負的情況，試誤過程即告完成，因為零介于正負之間(能夠使投資項目凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率才是財務(wù)內(nèi)部收益率)，此時可以用插值法計算了;但如果此時NPV2與NPV1的計算結(jié)果符號相同，即沒有出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負的情況，就繼續(xù)重復(fù)進行試誤工作，直至出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負。本題目先假定內(nèi)含報酬率為10%，則：

　　NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400×0.7513-4000=216.8萬

　　因為NPV1大于0，所以提高折現(xiàn)率再試，設(shè)I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32萬

　　仍舊大于0，則提高折現(xiàn)率I=14%再試，NPV3=1200×0.8772 +16000×7695+2400×0.6750-4000=-96.19萬

　　現(xiàn)在NPV2 >0，而 NPV3<0(注意這里要選用離得最近的兩組數(shù)據(jù))，所以按照內(nèi)插法計算內(nèi)含報酬率，設(shè)i2 =14%，i1=12%，則 β2=-96.19，β1=55.32，β=0根據(jù)

　　(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)

　　有這樣的方程式：(14%-12%)/(i-12%)=(-96.19-55.32)/(0-55.329)

　　解得I=12.73%，因為大于必要報酬率，所以該方案可以選擇。

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