2011年公務員考試《行測》數(shù)學運算之數(shù)的分解與拆分專題

　　數(shù)的拆分問題是公務員考試常考的題型之一，考察對數(shù)的基本特性的掌握，通常此類問題都比較靈活。一般來說此類問題整體難度不大，不過像考試中常用的代入法等在此將不再實用，故掌握方法就變得特別重要。

　　1.分解因式型：就是把一個合數(shù)分解成若干個質數(shù)相乘的形式。運用此方法解題首先要熟練掌握如何分解質因數(shù)，還要靈活組合這些質因數(shù)來達到解題的目的。

　　【例1】三個質數(shù)的倒數(shù)之和為a/231 ，則a=( )轉自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　A.68 B.83 C.95 D.131

　　【解析】將231分解質因數(shù)得231=3×7×11，則 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。

　　【例2】 四個連續(xù)的自然數(shù)的積為3024，它們的和為( )

　　A.26 B.52 C.30 D.28

　　【解析】分解質因數(shù)：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四個連續(xù)的四個自然數(shù)的和為6+7+8+9=30。

　　【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因數(shù)，自然數(shù)n最大可能是多少?

　　A 499 B500 C 498 D501

　　【解析】20^n=5*2*2的N次方，顯然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出來的2個個數(shù)要遠遠大于5的個數(shù)，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少個5也就是N的最大值，由此計算所求應為【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。

　　注：【】取整數(shù)部分。

　　2.已知某幾個數(shù)的和，求積的最大值型：轉自環(huán) 球 網(wǎng) 校edu24ol.com

　　基本原理：a2+b2ㄒ2ab，(a，b都大于0，當且僅當a=b時取得等號)推 論：a+b=K(常數(shù))，且a，b都大于0，那么abㄑ((a+b)/2)2，當且僅當a=b時取得等號。此結論可以推廣到多個數(shù)的和為定值的情況。

　　【例1】3個自然數(shù)之和為14，它們的的乘積的最大值為( )

　　A.42 B.84 C.100 D.120

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　　若使乘積最大，應把14拆分為5+5+4，則積的最大值為5×5×4=100。也就是說，當不能滿足拆分的數(shù)相等的情況下，就要求拆分的數(shù)之間的差異應該盡量的小，這樣它們的乘積才能最大，這是做此類問題的指導思想。下面再舉一列大家可以自己體會.

　　【例2】將17拆分成若干個自然數(shù)的和，這些自然數(shù)的乘積的最大值為( )A.256 B.486 C.556 D.376

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　　將17拆分為17=3+3+3+3+3+2時，其乘積最大，最大值為 ×2=486。

　　3. 排列組合型: 運用排列組合知識解決數(shù)的分解問題。要求對排列組合有較深刻的理解，才能達到靈活運用的目的。

　　【例1】有多少種方法可以把100表示為(有順序的)3個自然數(shù)之和?( )

　　A.4851 B.1000 C.256 D.10000

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　　插板法：100可以想象為100個1相加的形式，現(xiàn)在我們要把這100個1分成3份，那么就相等于在這100個1內部形成的99個空中，任意插入兩個板，這樣就把它們分成了三個部分。而從99個空任意選出兩個空的選法有：C992=99×98/2=4851(種);故選A。

　　(注：此題沒有考慮0已經(jīng)劃入自然數(shù)范疇，如果選項中出現(xiàn)把0考慮進去的選項，建議選擇考慮0的那個選項。)

　　【例2】 學校準備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個長方形，有多少種不同的拼法?

　　A.1152 B.384 C.28 D.12

　　【解析】本題實際上是想把1152分解成兩個數(shù)的積。

　　1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12種不同的拼法。

　　解法二：(用排列組合知識求解)

　　由1152=27×32，那么現(xiàn)在我們要做的就是把這7個2和2個3分成兩部分，當分配好時，那么長方形的長和寬也就固定了。

　　具體地： 1)當2個3在一起的時候，有8種分配方法(從后面有0個2一直到7個2); 2)當兩個3不在一起時，有4種分配方法，分別是一個3后有0，1，2，3個2。故共有8+4=12種。

　　解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘積為1152因數(shù)的個數(shù)為(7+1)×(2+1)=24個，每兩個一組，故共有24÷2=12組。

　　【例1】將450分拆成若干連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分拆辦法?

　　A9　　　B8　　C7　　D10

　　【解析】整數(shù)分拆(嚴格地講是自然數(shù)分拆)形式多樣，解法也很多。

　　下面談談如何利用確定“中間數(shù)”法解將一個整數(shù)分拆成若干個連續(xù)數(shù)的問題。 那么什么是“中間數(shù)”呢?其實這里的“中間數(shù)”也就是平均數(shù)。有的“中間數(shù)”是答數(shù)中的一個，如：1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中間數(shù)”是為了解題方便虛擬的，并不是答數(shù)中的一個，如：4、5、6、7這四個數(shù)的“中間數(shù)”即為“5.5”。由此我們可知，奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的“中間數(shù)”是一個整數(shù)，而偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的“中間數(shù)”則為小數(shù)，并且是某個數(shù)的一半。

　　一、 把一個自然數(shù)分拆成指定個數(shù)的連續(xù)數(shù)的和的問題。

　　例1、把2000分成25個連續(xù)偶數(shù)的和，這25個數(shù)分別什么?

　　分析與解：這道題如果一個一個地試，豈不是很麻煩，我們先求中間數(shù)：2000÷25=80，那么80的左邊有12個數(shù)，右邊也有12個數(shù)，再加上80本身，正好是25個數(shù)，我們又知相鄰兩個偶數(shù)相差2，那么這25個偶數(shù)中最小的便為：80—12×2=56，最大的為：80+12×2=104，故所求的這25個數(shù)為：56、58、………、80、………、102、104。

　　例2、把105分成10個連續(xù)自然數(shù)的和，這10個自然數(shù)分別是多少?

　　分析與解：我們仿照例1的辦法先求中間數(shù)：105÷10=10.5，“10.5”這個數(shù)是小數(shù)，并不是自然數(shù)，很明顯“10.5”不是所求的數(shù)中的一個，但我們可以把10.5“虛擬”為所求的數(shù)中的一個，這樣也就是10.5左邊有5個數(shù)，右邊也有5個數(shù)，距離10.5最近的分別是10、11，這10個數(shù)分別是：6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。

　　二、 把一個自然數(shù)分拆成若干個自然數(shù)的和的形式。

　　例3、84分拆成2個或2個以上連續(xù)自然數(shù)的和，有幾種?分別是多少?

　　分析與解：我們先把84分解質因數(shù)，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同質因數(shù)有2、3、7，這就說明能把84分拆成2、3、7的倍數(shù)個不同連續(xù)自然數(shù)的和，但是我們必須明確，有的個數(shù)是不符合要求的，例如把84分拆成2個連續(xù)自然數(shù)的和，無論如何是辦不到的，那么我們不妨把其分拆為3、7、8(2×2×2)個連續(xù)自然數(shù)的和。 分拆為3個連續(xù)自然數(shù)的和：(2×2×3×7)÷3=28 ，確定了“中間數(shù)”28，再依據(jù)例2的方法確定其它數(shù)，所以這三個數(shù)是27、28、29。 同理，分拆為7個連續(xù)自然數(shù)的和：(2×2×3×7)÷7=12 ，它們是9、10、11、12、13、14、15。 分拆為8(2×2×2)個連續(xù)自然數(shù)的和：(2×2×3×7)÷8=10.5 ，它們是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情況均不符合要求。 再將此題引伸一步，怎樣判斷究竟有幾種分拆方式呢?就84而言，它有三種分拆方法，下面我們看84的約數(shù)有：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇約數(shù)恰有三個。于是可以得此結論：若一個整數(shù)(0除外)有n個大于1的奇約數(shù)，那么這個整數(shù)就有n種分拆成2個或2個以上連續(xù)自然數(shù)的和的方法。

　　450=2*3*3*5*5，大于1的奇約數(shù)為3，5，9，15，25，45，75，225一共8個，則共有8種拆分方法。

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