2018年一級結(jié)構(gòu)工程師《理論力學(xué)》重點：剛體力學(xué)

剛體力學(xué)

一、基本概念和整體認識

1，剛體：特殊質(zhì)點組，任意兩質(zhì)點的距離保持不變，類似于質(zhì)點是一種理想情況，相對于所研究的問題，當(dāng)物體的大小和形狀的變化，可以忽視時，則物體可當(dāng)做剛體。

2，剛體空間位置的確定，只需確定不共線的三點位置坐標(biāo)，但由于任意兩點的位置不變，受到三個約束，所以只需6個即可

3，剛體運動的分類 根據(jù)運動時的限制，需要的獨立變量數(shù)可少于6個，

根據(jù)限制的不同，把剛體的運動分為：

(1) 平動：任意兩質(zhì)點的聯(lián)線在任意兩個不同的時刻，都保持平行，各個質(zhì)點的運動情況完全相同，所以任意一質(zhì)點的運動即可代表整個剛體的運動，顯然只需3個獨立變量

(2) 定軸轉(zhuǎn)動：剛體運動時，始終有兩點不動的運動，該兩點的連線即為固定的轉(zhuǎn)動軸，只需確定剛體繞該定軸轉(zhuǎn)過多少度，所以只需一個獨立變量

(3) 平面平行運動：剛體運動時，始終與一固定平面平行的運動，可分解為質(zhì)心的平面平動和繞統(tǒng)過質(zhì)心并垂直于該平面的轉(zhuǎn)動(由軸線取向不變，所以相當(dāng)于一定轉(zhuǎn)動)，因而需要3個獨立變量

(4) 定點轉(zhuǎn)動：剛體運動時，只有一個點不動，剛體只能繞通過這個點的軸線轉(zhuǎn)動，顯然軸線的取向是可以不斷發(fā)生變化的，確定軸線的空間取向(三個方向余旋，但三方向余旋平方和為1)，所以只需兩個獨立變量，但還需一個變量來確定繞軸線轉(zhuǎn)過的角度，因此總共需三個獨立變量。通常用三個獨立的歐拉角來描述，即進動角

(5) 一般運動：不受任何約束，一般分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動，因而需6個獨立變量。

1， 描述剛體運動，最基本的物理量是角速度，即描述剛體繞某個點和軸線轉(zhuǎn)動的快慢，是一矢量(相應(yīng)于無限小轉(zhuǎn)動，無限小轉(zhuǎn)動是可對易的(交換先后兩次的轉(zhuǎn)動順序，結(jié)果不 變)，而有限轉(zhuǎn)動是不可對易的) ，方向用右手螺旋法則來確定。

2， 剛體的歐拉運動學(xué)方程，剛體定點轉(zhuǎn)動時，把角速度(注意是狀態(tài)量)投影到固連在剛體上隨剛體一塊運動的隨動坐標(biāo)系上(只做為計算的工具，在后面的剛體的平面平行運動學(xué)和剛體的定點轉(zhuǎn)動運動學(xué)，及非慣性系運動學(xué)、動力學(xué)，都常常這么做)，但運動參照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量隨歐拉角及時間之間的變化關(guān)系

一、 剛體的運動方程與平衡方程

1、 力系的簡化

由于剛體受力可能紛繁復(fù)雜，所以首先要對剛體的力系進行簡化

1) I，非平行共面力系的簡化

應(yīng)用的基本原理是力的可傳性原理，力可沿作用線滑移而不改變作用效果(但作用線不能隨便移動)。所以可以采用兩兩相交的辦法求得非平行共面力系的合力

II，平行共面力系的簡化，采用合力對垂直于該平面的某一軸線的力矩與所有平行力對該軸線的力矩之代數(shù)和相等，來求得合力大小和作用點

平面平行力系中存在一特殊情況，即由一對對大小相等，方向相方的平行力所組成，其中的任何一對平行力，我們稱為力偶，其唯一的作用效果是產(chǎn)生力偶矩，垂直于該平面，但作用點不固定，稱為自由矢量

大?。浩渲幸涣Τ艘粤ε急?兩平行力的距離)

方向：右手螺旋法則

也等于其中一力對另一個力作用點的力矩

這樣的平面平行力，可簡化為一合力偶，可能是零，可能不是零

2) 空間力系的簡化

共點力系和平行力系的簡化，與平面情況類似，關(guān)鍵是既不平行也不共面的力系：

利用力偶的知識，我們可根據(jù)問題的方便，選擇一簡化中心(通常是質(zhì)心)，于是剛體上任意一力可以遷移到該點，為了消除遷移的影響(移動了作用線)，必須加上一力偶，即加上未遷移前，該力對簡化中心的力矩。因而所有力遷移到簡化中心后，就有一合力和合力矩，我們稱為主矢(作用效果使剛體平動)和主矩(作用效果使剛體繞通過簡化中心的軸線轉(zhuǎn)動)。顯然簡化中心不一樣，主矢不變，主矩一般要改變，但顯然不能因為人為選擇的簡化中心的不同而改變剛體的運動狀態(tài)

2， 剛體的運動微分方程

根據(jù)前面的分析，剛體的運動一般分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動，因此質(zhì)心為簡化中心，力系簡化為一主矢和一主矩，我們利用質(zhì)心的運動定理處理質(zhì)心的平動和應(yīng)用對質(zhì)心的角動量定理處理繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動即可處理剛體的一般運動。

注意對軸線的力矩和角動量，一定是先求對點的力矩和角動量，再投影到該軸線上來做的;若對另外兩坐標(biāo)軸沒有力矩(共面力系，平面運動)，則此時對點和對軸線的力矩相等。

3、 剛體的平衡方程

以任意點為簡化中心顯然要求主矢為零，主矩為零

三 、剛體的轉(zhuǎn)動慣量

1， 剛體的角動量和轉(zhuǎn)動動能

2， 轉(zhuǎn)動慣量

3， 慣量張量和慣量橢球， 慣量主軸及求法

四， 剛體的平動和繞固定軸的轉(zhuǎn)動

明確平動(3個獨立變量)與定軸轉(zhuǎn)動(1個獨立變量)的概念

注意是對軸線上某點的角動量定理，在轉(zhuǎn)軸上的投影，所以是標(biāo)量式，應(yīng)用該式解決動力學(xué)問題，需解決兩個問題

I， 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量

II， 所有外力對定軸力矩之代數(shù)和

前面講過，對力對軸的力矩一定是先求得對軸線上某點的力矩，然后再往該軸線投影而得，看起來很麻煩，實則不然。我們所遇到的情況，基本都是共面力系的情形(包括后面的平面平行運動)，所以所有外力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于對轉(zhuǎn)軸與該面的交點的力矩(經(jīng)過交點的力，如約束反力，對該點則無力矩)，因而大小就等于該力乘以交點到力的作用線的垂直距離，方向用右手螺旋法則判斷，要特別強調(diào)正負的取法，與平衡問題不同，這里是先確定角位移，再根據(jù)右手螺旋法則確定力矩的正方向。從而求得個外力對軸線與平面交點的力矩之代數(shù)和

若剛體所受的外力中，只有保守力做功，則機械能守恒，該類問題也可結(jié)合機械能守恒定律來求解

1) 軸承上的附加壓力(通常是非共面力系)

應(yīng)用動量定理和對軸花上某點的角動量定理求解

若要使剛體處于動平衡，即轉(zhuǎn)動時使剛體所受的軸承施加的作用力與靜止時相等，則要求剛體的轉(zhuǎn)軸為慣量主軸，且質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，所以制造和安裝機器的轉(zhuǎn)動部分時需要盡可能滿足上述兩條件，否則附加雜軸承上的壓力會產(chǎn)生很大的破壞作用。

五， (重點考查)剛體的平面平行運動(需3個獨立變量)

明確概念，由于剛體做平面平行運動時始終與某一固定平面平行，因此截取一平行于該固定平面的薄片做為代表，即可研究剛體平面平行運動的運動學(xué)和動力學(xué)(動力學(xué)要求是通過質(zhì)心的薄片)

六、剛體的定點轉(zhuǎn)動(3個獨立變量)

明確概念

空間極面：剛體定點轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動瞬軸在靜止坐標(biāo)系所描出的錐面

本體極面：剛體定點轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動瞬軸相對于剛體自身所描出的錐面