行測(cè)輔導(dǎo)：數(shù)學(xué)運(yùn)算解題方法系列之容斥問(wèn)題

更新時(shí)間：2009-10-19 15:27:29 來(lái)源：|0

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國(guó)家公務(wù)員報(bào)名、考試、查分時(shí)間免費(fèi)短信提醒

　　數(shù)學(xué)運(yùn)算主要考查應(yīng)試者解決算術(shù)問(wèn)題的能力。在這種題型中，每道試題中呈現(xiàn)一道算術(shù)式子，或者是表述數(shù)字關(guān)系的一段文字，要求考生迅速、準(zhǔn)確地計(jì)算出答案。在解答此類試題時(shí)，關(guān)鍵在于找捷徑和簡(jiǎn)便方法。由于運(yùn)算只涉及加、減、乘、除四則運(yùn)算，比較簡(jiǎn)單，如果有足夠的時(shí)間給每一位考生的話，大家?guī)缀醵寄艽蚋叻稚踔潦菨M分。但公務(wù)員考試行測(cè)的一大特點(diǎn)就是題量大時(shí)間緊，在這種情況下，個(gè)體的差異就體現(xiàn)在運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性上，只有通過(guò)巧用計(jì)算方法提高運(yùn)算速度才能在考試中獲得優(yōu)勢(shì)。

　　數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡(jiǎn)便解題方法有很多，如數(shù)學(xué)公式運(yùn)算法、湊整計(jì)算法、基準(zhǔn)數(shù)法、提取公因式法等等，根據(jù)常考的試題，還總結(jié)出一些專題，比如年齡問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、行程問(wèn)題等等，每一類題也有各自不一樣的解法，我們會(huì)一一給大家講解，今天，我們主要來(lái)講一講容斥問(wèn)題的解題方法。

　　容斥問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)主要有：

　　如果有S個(gè)東西，其中具有性質(zhì)A的有a個(gè)，具有性質(zhì)B的有b個(gè)，即具有性質(zhì)A又具有性質(zhì)B的有c個(gè)，則具有性質(zhì)A或B及性質(zhì)AB的為N，N=a+b-c;

　　不具有性質(zhì)A也不具有性質(zhì)B的為M,M=S-(a+b-c);

　　假設(shè)這S個(gè)東西，必須至少具有A、B性質(zhì)的一種，即具有性質(zhì)A或具有性質(zhì)B或同時(shí)具有兩種性質(zhì)，除此沒(méi)有，則N=S;

　　假設(shè)這S個(gè)東西，可能具有A、B性質(zhì)中的一種或兩種或沒(méi)有，則S-M=至少具有一種性質(zhì)的集合(N)，考題中常用后推的思想。

　　容斥原理可用集合的知識(shí)來(lái)表示：

　　(1)兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：

　　A+B=A∪B+A∩B;

　　A∪B= a+b-c;

　　c= A∩B

　　(2)三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：

　　A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C;

　　A∪B∪C= a+b+c- A∩B- A∩C- B∩C+ A∩B∩C

　　下邊我們來(lái)看幾道例題，幫助大家熟悉容斥問(wèn)題的解題方法：

　　【例題1】某校學(xué)生有1000人，其中500人訂《中國(guó)少年報(bào)》，300人訂《少年文藝》，120人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，其中250人訂閱2種，50訂閱3種，問(wèn)這個(gè)學(xué)校沒(méi)有訂閱任何報(bào)的學(xué)生有多少人?( )

　　A.250 B.280 C.300 D.360

　　【答案及解析】B。

　　先求至少訂閱一種的學(xué)生人數(shù)：500+300+120-250+50=720人，所以一種也沒(méi)有訂閱的學(xué)生人數(shù)為：1000-720=280人

　　【例題2】(2004年中央A類真題)某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒(méi)有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )。

　　A.22 B.18 C.28 D.26

　　【答案及解析】A。

　　設(shè)A=第一次考試中及格的人(26)，B=第二次考試中及格的人(24)

　　顯然，A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28，

　　則根據(jù)公式：A∩B=A+B-A∪B=50-28=22，

　　所以，答案為A。

　　【例題3】(2004年山東真題)某單位有青年員工85人，其中68人會(huì)騎自行車，62人會(huì)游泳，既不會(huì)騎車又不會(huì)游泳的有12人，則既會(huì)騎車又會(huì)游泳的有( )人

　　A.57 B.73 C.130 D.69

　　【答案及解析】A。

　　設(shè)A=會(huì)騎自行車的人(68)，B=會(huì)游泳的人(62)

　　顯然，A+B=68+62=130;A∪B=85-12=73，

　　則根據(jù)公式A∩B=A+B-A∪B=130-73=57

　　所以，答案為A。

　　【例題4】(2005年中央A類真題)對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人?( )

　　A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

　　【答案及解析】A。

　　設(shè)A=喜歡看球賽的人(58)，B=喜歡看戲劇的人(38)，C=喜歡看電影的人(52)

　　A∩B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人(18)

　　B∩C=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)

　　A∩B∩C=三種都喜歡看的人(12)

　　A∪B∪C=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)

　　根據(jù)公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

　　C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

　　=148-(100+18+16-12)=26

　　所以，只喜歡看電影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22，所以選A。

　　通過(guò)上面幾道例題，我們了解了容斥問(wèn)題的基本特點(diǎn)，以及容斥問(wèn)題的一些解題方法。

　　其實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查點(diǎn)并非在于應(yīng)試者的知識(shí)積累，而在于應(yīng)試者的反應(yīng)速度及應(yīng)變能力。因此數(shù)學(xué)運(yùn)算的題目并非是要求應(yīng)試者用復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式來(lái)進(jìn)行運(yùn)算(盡管能最終算出結(jié)果)，而是要求應(yīng)試者根據(jù)題目所給條件，巧妙運(yùn)用簡(jiǎn)便的方法來(lái)進(jìn)行解答。今天給大家介紹了容斥問(wèn)題的解題方法，這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一種比較常見(jiàn)的題型，希望大家能掌握其中的要點(diǎn)，做到靈活運(yùn)用。其他的解題方法在以后我們還會(huì)一一介紹，建議大家在學(xué)習(xí)解題方法的同時(shí)，也要注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累，多做練習(xí)，把各種解題方法運(yùn)用得爐火純青。

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